¿Cuánto suman los 400 primeros números?

Las matemáticas son a menudo maltratadas. Sufren una especie de mobbing por parte de los estudiantes, convirtiéndose en muchas ocasiones en el compañero de clase más ignorado, marginado u odiado por parte de muchos. Hace falta un mediador para lograr que los estudiantes se hagan amigos suyos y lograr así una amistad que dure toda la vida; una amistad que permita pasar buenos momentos, encontrar soluciones a problemas simples y no tan simples e incluso ayude a calcular hipotecas.

Lograr esta amistad es fácil. No hay que tener una mente privilegiada como Albert Einstein o alguno de los que se dice que eran sus ídolos: Isaac Newton, Michael Faraday, posiblemente el mejor observador de fenómenos físicos de todos los tiempos, o James Clerk Maxwell, excelente traductor de observaciones físicas a teorías matemáticas, como las fórmulas del electromagnetismo. La base de la amistad son las ganas, la suma y la resta; multiplicar y dividir son consecuencias de la suma, e incluso las tan temidas integrales no son más que sumas infinitas.

Dicho esto me gustaría plantear un problema que a priori a mucha gente le puede parecer complejo pero es mucho más fácil de lo que parece, siempre y cuanto cuando se plantea no se le quiera hacer el mobbing que comentaba. ¿Qué resultado da la suma de los 400 primeros números?

De inicio hay que hacer algo importante ante cualquier razonamiento; simplificar el problema en la medida de los posible para encontrar patrones que nos permitan resolver problemas mayores. Este patrón nos permitirá encontrar la fórmula. Por tanto vamos a simplificar, vamos a sumar los 10 primeros números

Esto vendría a ser:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Sumar esto es sencillo mentalmente, y más con una calculadora, pero ¿y si tenemos que sumar 400 números?

El resultado es 55. Vamos a buscar un patrón que nos permitirá encontrar una fórmula. Cogeremos el primer y el último número: 1 y 10. La suma es 11. Y si cogemos el segundo y el penúltimo: 2+9=11 ¿Casualidad? ¿Y el tercero por delante y el tercero por detrás? 3+8=11 Seguimos: 4+7=11 y 5+6=11

Tenemos 5 veces 11, por tanto 55.

El patrón es que tenemos que sumar el primero y el último y multiplicarlo por la mitad de los números totales a sumar, puesto que cada suma que hemos hecho es de dos números. En el caso anterior será (1+10)x(10/2)=55

Entonces la suma de los 400 primeros números es (1+400)x(400/2)=80.200

¡Atención! Esto es cuando el último número es par, en este caso 400. Si el número es impar, por ejemplo, 121 lo mejor es hacer la suma hasta el número par inmediatamente inferior a 121, es decir 120. Aplicando la fórmula anterior y después le sumaremos aparte 121. Por tanto la suma de los 121 primeros números es:

(1+120)x(120/2)+121=7441

Esto que en teoría es fácil es lo que se enseña como progresión aritmética y tiene está fórmula:

Las fórmulas en sí son frías y no generan satisfacción. Al final, es como todo, el resultado en sí no genera ni una milésima parte de la felicidad que el trabajar duro en el proceso para lograr el objetivo marcado, sea o no sea un problema matemático.